Признаки делимости чисел

В этой публикации мы рассмотрим знаки делимости чисел от 2 до 11, сопровождая их примерами для лучшего понимания.

Свидетельство о делимости – это алгоритм, с помощью которого можно сравнительно быстро определить, кратно ли рассматриваемое число заданному (то есть делится ли оно на него без остатка).

Знак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная, то есть тоже делится на два.

Примеры:

• 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, а значит, делятся на 2.
• 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, так как последние цифры у них нечетные.

Знак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на XNUMX.

Примеры:

• 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
• 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6 и 6:3=2.
• 614 не кратно 3, потому что 6+1+4=11, а 11 не делится на 3 без остатка. (11:3 = 3²/₃).

Знак делимости на 4

двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры десятков и цифры единиц также делится на четыре.

Примеры:

• 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16 и 16:4=4.
• 35 не делится на 4, потому что 3⋅2+5=11, а 11:4 2 =³/₄.

Количество цифр больше 2

Число кратно 4, если его последние две цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

• 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (согласно приведенному выше алгоритму: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
• Число 5219 не кратно 4, поскольку 19 не делится на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

• в последней его цифре стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследняя цифра четная;
• в последней цифре – 2 или 6, а в предпоследней – нечетные числа.

Знак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Примеры:

• 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, так как оканчиваются на 0 или 5.
• 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, так как их последние цифры не 0 и не 5.

Знак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно кратно и двум, и трем одновременно (см. знаки выше).

Примеры:

• 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра числа 6 четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не делится на 6, поскольку кратно только 2.
• 1345 – не делится на 6, т. к. не кратно ни 2, ни 3.

Знак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма трех десятков и цифр в единицах также делится на семь.

Примеры:

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28 и 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 десять десятков).
• 812 делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28 и 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, потому что 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а 29 не делится на 7.

Знак делимости на 8

трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифр в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной цифры в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

• 264 – делится на 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24 и 24:8=3.
• 716 – 8 не делится, потому что 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8 4 =¹/₂.

Количество цифр больше 3

Число делится на 8, если последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

• 2336 – делится на 8, поскольку 336 кратно 8.
• Число 12547 не кратно 8, поскольку 547 не делится на восемь без остатка.

Знак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на девять.

Примеры:

• 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9 и 9:9=1.
• 921 – не делится на 9, потому что 9+2+1=12 и 12:9 1 =¹/₃.

Знак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается нулем.

Примеры:

• 10, 110, 1500, 12760 кратны 10, последняя цифра 0.
• 53, 117, 1254, 2763 не делятся на 10.

Знак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разница между суммами четных и нечетных цифр равна нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

• 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
• 1364 – делится на 11, так как |(1+6)-(3+4)|=0.
• 24587 не делится на 11, потому что |(2+5+7)-(4+8)|=2 и 2 не делится на 11.