Содержание:
В этой публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Чевы, получившую такое название в честь итальянского инженера Джованни Чева. Также разберем пример решения задачи, чтобы закрепить изложенный материал.
Формулировка теоремы
Треугольник дан азбука, в котором каждая вершина соединена с точкой на противоположной стороне.
Таким образом, мы получаем три отрезка (АА', ББ' и CC'), которые называются чевианцы.
Эти отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:
|И'| |НЕТ'| |CB'| = |ДО Н.Э'| |СДВИГ'| |АБ'|
Теорему можно представить и в таком виде (определяется, в каком отношении точки делят стороны):
Тригонометрическая теорема Чевы
Примечание: все углы ориентированы.
Пример проблемы
Треугольник дан азбука с точками К', Б' и C ' По сторонам BC, AC и AB, соответственно. Вершины треугольника соединяются с заданными точками, а образовавшиеся отрезки проходят через одну точку. В то же время точки К' и Б' взяты в серединах соответствующих противоположных сторон. Узнайте, в каком соотношении точка C ' делит сторону AB.
Решения
Нарисуем чертеж по условиям задачи. Для нашего удобства мы примем следующие обозначения:
- AB' = B'C = а
- ВА' = А'С = б
Осталось только составить соотношение отрезков по теореме Чевы и подставить в него принятые обозначения:
После сокращения дробей получим:
Следовательно, AC' = C'B, т.е. точка C ' делит сторону AB в половине.
Следовательно, в нашем треугольнике отрезки АА', ББ' и CC' являются медианами. Решив задачу, мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для любого треугольника).
Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке также пересекаются биссектрисы или высоты.