Тождественные преобразования выражений

В данной публикации мы рассмотрим основные виды тождественных преобразований алгебраических выражений, сопровождая их формулами и примерами, демонстрирующими их применение на практике. Цель таких преобразований — заменить исходное выражение тождественно равным.

Перестановка терминов и факторов

В любой сумме можно переставить слагаемые.

а + Ь = Ь + а

В любом произведении можно переставлять коэффициенты.

а ⋅ б = б ⋅ а

Примеры:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Условия группировки (множители)

Если в сумме более 2 слагаемых, их можно сгруппировать круглыми скобками. При необходимости их можно сначала поменять местами.

а + б + в + г = (а + в) + (б + г)

В продукте также можно группировать факторы.

а ⋅ б ⋅ в ⋅ d знак равно (а ⋅ г) ⋅ (б ⋅ в)

Примеры:

• 15 + 6 + 5 + 4 знак равно (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Сложение, вычитание, умножение или деление на одно и то же число

Если к обеим частям тождества прибавляется или вычитается одно и то же число, оно остается истинным.

If а + б = в + гтогда (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Также равенство не будет нарушено, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число.

If а + б = в + гтогда (a + b) ⋅/: е = (c + d) ⋅/: е.

Примеры:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Замена разницы суммой (часто произведением)

Любую разность можно представить в виде суммы слагаемых.

а – б = а + (-б)

Тот же прием можно применить и к разделению, т.е. заменить частое произведением.

а: б = а ⋅ б^-1

Примеры:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Выполнение арифметических операций

Упростить математическое выражение (иногда значительно) можно, выполняя арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление), учитывая общепринятые порядок исполнения:

• сначала возводим в степень, извлекаем корни, вычисляем логарифмы, тригонометрические и другие функции;
• далее выполняем действия в скобках;
• в последнюю очередь – слева направо выполните остальные действия. Умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием. Это также относится к выражениям в круглых скобках.

Примеры:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Расширение кронштейна

Круглые скобки в арифметическом выражении можно удалять. Это действие выполняется по определенным – в зависимости от того, какие знаки («плюс», «минус», «умножить» или «делить») стоят до или после скобок.

Примеры:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4 – 6) = 18: 4-18: 6

Вынесение общего коэффициента в скобки

Если все члены выражения имеют общий делитель, его можно вынести за скобки, в которых останутся члены, разделенные этим делителем. Этот метод также применим к литеральным переменным.

Примеры:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31х + 50х = х ⋅ (31 + 50)

Применение формул сокращенного умножения

Вы также можете использовать для выполнения идентичных преобразований алгебраических выражений.

Примеры:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² -7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627