Содержание:
В этой публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также мы разберем примеры, демонстрирующие применение теории на практике.
Определение ранга матрицы
Ранг матрицы - это ранг его системы строк или столбцов. Любая матрица имеет ранги строк и столбцов, которые равны друг другу.
Ранг системы строк — максимальное количество линейно независимых строк. Ранг системы столбцов определяется аналогичным образом.
Ноты:
- Ранг нулевой матрицы (обозначается символом «θ«) любого размера равен нулю.
- Ранг любого ненулевого вектора-строки или вектор-столбца равен единице.
- Если матрица любого размера содержит хотя бы один элемент, не равный нулю, то ее ранг не меньше единицы.
- Ранг матрицы не превышает ее минимальной размерности.
- Элементарные преобразования, выполняемые над матрицей, не меняют ее ранг.
Нахождение ранга матрицы
Метод окантовки минора
Ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевой.
Алгоритм следующий: найдите миноров от низшего порядка до высшего. Если несовершеннолетний n-й порядок не равен нулю, и все последующие (n + 1) равны 0, поэтому ранг матрицы равен n.
Пример
Чтобы было понятнее, возьмем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, используя метод окантовки миноров.
Решения
Мы имеем дело с матрицей размера 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице есть ненулевые элементы, а значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, начнем:
1. Начать проверку несовершеннолетние второго порядка. Для начала берем по две строки первого и второго столбца.
Минор равен нулю.
Поэтому переходим к следующему минору (остается первый столбец, а вместо второго берем третий).
Минор — 54≠0, значит ранг матрицы не меньше двух.
Примечание: Если бы этот минор оказался равным нулю, мы бы дополнительно проверяли следующие комбинации:
При необходимости перечисление можно продолжить таким же образом со строками:
- 1 и 3;
- 1 и 4;
- 2 и 3;
- 2 и 4;
- 3 и 4.
Если бы все миноры второго порядка были равны нулю, то ранг матрицы был бы равен единице.
2. Нам удалось почти сразу найти подходящего нам минора. Итак, давайте перейдем к несовершеннолетние третьего порядка.
К найденному минору второго порядка, давшему ненулевой результат, добавляем одну строку и один из выделенных зеленым столбцов (начинаем со второго).
Минор оказался нулевым.
Поэтому меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, а это значит, что ранг матрицы не может быть меньше 3.
Примечание: если бы результат снова оказался нулевым, то вместо второй строки мы бы взяли четвертую дальше и продолжили поиск «хорошего» минора.
3. Теперь осталось определиться несовершеннолетние четвертого порядка на основе того, что было найдено ранее. В данном случае это тот, который соответствует определителю матрицы.
Минор равен 144≠0. Это означает, что ранг матрицы A равно 4
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать, это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью , которые, как мы уже говорили выше, не меняют ее ранг.
Пример
Найдите ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, поскольку наша главная цель — просто продемонстрировать применение метода на практике.
Решения
1. Сначала вычтите из второй строки удвоенную первую.
2. Теперь вычтите первую строку из третьей строки, умножив ее на четыре.
Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равно двум, следовательно, ее ранг также равен 2.