В этой публикации мы рассмотрим одну из основных теорем евклидовой геометрии – теорему Стюарта, получившую такое название в честь английского математика М. Стюарта, доказавшего ее. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.
Формулировка теоремы
Дэн треугольник азбука. На его стороне AC Дело принято D, который соединен с вершиной B. Мы принимаем следующие обозначения:
- АВ = а
- до нашей эры = б
- БД = п
- АД = х
- DC = и
Для этого треугольника справедливо равенство:
Применение теоремы
Из теоремы Стюарта можно вывести формулы для нахождения медиан и биссектрис треугольника:
1. Длина биссектрисы
Позволять lc биссектриса оттянута в сторону c, который разделен на сегменты x и y. Возьмем две другие стороны треугольника как a и b… В этом случае:
2. Средняя длина
Позволять mc медиана повернута в сторону c. Обозначим две другие стороны треугольника как a и b… Затем:
Пример проблемы
Треугольник дан ABC. На стороне AC равен 9 см, Дело принято D, который делит сторону так, что AD вдвое дольше DC. Длина отрезка, соединяющего вершину B и указать D, составляет 5 см. В этом случае образовавшийся треугольник ABD является равнобедренным. Найдите оставшиеся стороны треугольника азбука.
Решения
Изобразим условия задачи в виде рисунка.
AC = AD + DC = 9 см AD дольше DC дважды, т.е. AD = 2DC.
Следовательно, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Так, DC = 3 см, AD = 6 см
Потому что треугольник ABD - равнобедренные и боковые AD равно 6 см, значит они равны AB и BDIe AB = 5 см
Осталось только найти BC, выводя формулу из теоремы Стюарта:
Подставляем известные значения в это выражение:
Таким образом, BC = √52 ≈ 7,21 см.