Система линейных алгебраических уравнений

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как представить ее в матричной форме, в том числе расширенной.

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно «СЛАУ») — это система, которая в целом выглядит следующим образом:

• m – количество уравнений;
• n это количество переменных.
• x₁, Икс₂,…, Икс_n - неизвестный;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – коэффициенты для неизвестных;
• b₁, б₂,…, б_m – свободные участники.

Индексы коэффициентов (a_ij) формируются следующим образом:

• i – номер линейного уравнения;
• j — номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ - такие цифры c₁, C₂,…, с_n , в настройке которого вместо x₁, Икс₂,…, Икс_n, все уравнения системы превратятся в тождества.

Виды СЛАУ

1. гомогенный – все свободные члены системы равны нулю (b₁ = б₂ = … = б_m = 0).

   

2. гетерогенный – если вышеуказанное условие не выполнено.
3. Квадратный – количество уравнений равно числу неизвестных, т.е. м = п.

   

4. Недоопределенный – количество неизвестных больше количества уравнений.

   

5. переопределяется Уравнений больше, чем переменных.

   

В зависимости от количества решений СЛАУ может быть:

1. Совместный имеет хотя бы одно решение. При этом, если она единственна, систему называют определенной, если решений несколько, ее называют неопределенной.

   

   Приведенная выше СЛАУ является совместной, поскольку существует хотя бы одно решение: х = 2, у = 3.

2. несовместимый Система не имеет решений.

   

   Правые части уравнений одинаковы, а левые — нет. Таким образом, решений нет.

Матричное обозначение системы

СЛАУ можно представить в матричной форме:

АХ = В

• A – матрица, образованная коэффициентами при неизвестных:

  

• X – столбец переменных:

  

• B – столбец свободных участников:

  

Пример

Представим систему уравнений ниже в матричной форме:

Используя формы выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцами с неизвестными и свободными членами.

Полная запись данной системы уравнений в матричной форме:

Расширенная матрица СЛАУ

Если к матрице системы A добавить столбец свободных участников справа B, разделив данные вертикальной чертой, вы получите расширенную матрицу СЛАУ.

Для примера выше это выглядит так:

– обозначение расширенной матрицы.