Определение и свойства медианы треугольника

В этой статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

медиана отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине.

• BF медиана оттянута в сторону AC.
• АФ = ФК

Базовая медиана – точка пересечения медианы со стороной треугольника, иначе говоря, середина этой стороны (точка F).

медианные свойства

Объект 1 (основной)

Т. к. если у треугольника три вершины и три стороны, то и медиан соответственно три. Все они пересекаются в одной точкеO), который называется центроида or центр тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в соотношении 2:1, считая сверху. Те.:

• АО = 2ОЕ
• БО = 2ОФ
• СО = 2ОД

Недвижимость 2

Медиана делит треугольник на 2 треугольника одинаковой площади.

S₁ = С₂

Недвижимость 3

Три медианы делят треугольник на 6 треугольников одинаковой площади.

S₁ = С₂ = С₃ = С₄ = С₅ = С₆

Недвижимость 4

Наименьшая медиана соответствует наибольшей стороне треугольника, и наоборот.

• AC самая длинная сторона, следовательно, медиана BF - кратчайший.
• AB это самая короткая сторона, следовательно, медиана CD - самый длинный.

Недвижимость 5

Предположим, мы знаем все стороны треугольника (примем их как a, b и c).

медианная длина m_aоттянуто в сторону a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задача 1

Площадь одной из фигур, образовавшихся в результате пересечения трёх медиан в треугольнике, равна 5 см.². Найдите площадь треугольника.

Решения

Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:

S_△ = 5 см² ⋅ 6 = 30 см².

Задача 2

Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную в сторону длиной 6 см.

Решения

Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5: