Извлечение корня комплексного числа

В этой публикации мы рассмотрим, как можно извлечь корень из комплексного числа, а также как это может помочь в решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля.

Извлечение корня комплексного числа

Квадратный корень

Как мы знаем, из отрицательного действительного числа невозможно извлечь корень. Но когда речь идет о комплексных числах, это действие можно выполнить. Давайте разберемся.

Допустим, у нас есть номер г = -9. Для √-9 есть два корня:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Проверим полученные результаты, решив уравнение z² = -9, не забывая об этом i² = -1:

(-3и)² = (-3)² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3и)² = 3² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

Таким образом, мы доказали, что -3я и 3i корни √-9.

Корень отрицательного числа обычно записывается так:

√-1 = ±я

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i и так далее

Корень в степени n

Предположим, нам даны уравнения вида г = ⁿ√w… В нем есть n корнеплоды (z₀, Из₁, Из₂,…, з_п-1), который можно рассчитать по формуле ниже:

| w | это модуль комплексного числа w;

φ - его аргумент

k параметр, который принимает значения: к = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратные уравнения с комплексными корнями

Извлечение корня отрицательного числа меняет привычное представление о uXNUMXbuXNUMXb. Если дискриминант (D) меньше нуля, то действительных корней быть не может, но их можно представить в виде комплексных чисел.

Пример

Давайте решим уравнение x² - 8x + 20 = 0.

Решения

а = 1, б = -8, в = 20

Д = б² – 4ac = 64 - 80 = -16

Д < 0, но мы все равно можем извлечь корень из отрицательного дискриминанта:

√D = √-16 = ±4i

Теперь мы можем вычислить корни:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4и)/2 = 4 ± 2и.

Следовательно, уравнение x² - 8x + 20 = 0 имеет два комплексно-сопряженных корня:

x₁ = 4 + 2и

x₂ = 4 – 2и