Возведение комплексного числа в натуральную степень

В этой публикации мы рассмотрим, как комплексное число можно возвести в степень (в том числе с помощью формулы Де Муавра). Теоретический материал сопровождается примерами для лучшего понимания.

Возведение комплексного числа в степень

Во-первых, помните, что комплексное число имеет общий вид: г = а + би (алгебраическая форма).

Теперь можно приступить непосредственно к решению проблемы.

Квадратный номер

Мы можем представить степень как произведение тех же факторов, а затем найти их произведение (при этом помня, что i² = -1).

z² = (а + би)² = (а + би)(а + би)

Пример 1:

г=3+5и

z² = (3 + 5и)² = (3 + 5и)(3 + 5и) = 9 + 15и + 15и + 25и² = -16 + 30i

Вы также можете использовать, а именно квадрат суммы:

z² = (а + би)² = a² + 2 ⋅ а ⋅ би + (би)² = a² + 2аби ​​– б²

Примечание: Таким же образом при необходимости можно получить формулы квадрата разности, куба суммы/разности и т.п.

N-я степень

Поднять комплексное число z Подобным образом n гораздо проще, если ее представить в тригонометрической форме.

Напомним, что в общем виде обозначение числа выглядит так: z = |z| ⋅ (потому что φ + я ⋅ грех φ).

Для возведения в степень вы можете использовать Формула де Муавра (названный так в честь английского математика Абрахама де Муавра):

zⁿ = | г |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + я ⋅ sin(nφ))

Формула получается записью в тригонометрическом виде (модули перемножаются, а аргументы складываются).

Пример 2

Поднять комплексное число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) до восьмой степени.

Решения

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (потому что 280° + я грех 280°).