Метод Гаусса для решения СЛАУ

В этой публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен и в чем его принцип. Также на практическом примере продемонстрируем, как можно применить метод для решения системы линейных уравнений.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса — классический метод последовательного исключения переменных, используемый для решения. Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1885).

Но сначала напомним, что СЛАУ может:

• иметь одно единственное решение;
• иметь бесконечное количество решений;
• быть несовместны, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса — отличный способ решить СЛАУ, включающую более трех линейных уравнений, а также системы, не являющиеся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает в себя следующие этапы:

1. прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, приводится способом над строками к верхнетреугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
2. назад – в полученной матрице элементы выше главной диагонали также обнуляются (нижний треугольный вид).

Пример решения СЛАУ

Давайте решим приведенную ниже систему линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Решения

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача сбросить все элементы под главную диагональ. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, которые применимы к нашему случаю. Сначала мы меняем местами строки, размещая таким образом их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтите из второго ряда в два раза больше первого, а из третьего – втрое больше первого.

4. Добавьте вторую строку к третьей строке.

5. Вычтите вторую строку из первой и одновременно разделите третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтите третью, умноженную на 7, а ко второй прибавьте третью, умноженную на 5.

7. Итоговая расширенная матрица выглядит так:

8. Ему соответствует система уравнений:

Ответ: корневой СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.