Линейно-зависимые и независимые ряды: определение, примеры

В этой публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимых и независимых строк. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Определение линейной комбинации строк

Линейная комбинация (ЛК) термин s₁Доступно₂, …, с_n матрица A называется выражением следующего вида:

& alpha; S₁ + αс₂ + … + αс_n

Если все коэффициенты α_i равны нулю, поэтому LC равен тривиальный. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке.

Например: 0 · с₁ + 0 · с₂ + 0 · с₃

Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов α_i не равно нулю, то LC равен нетривиальный.

Например: 0 · с₁ + 2 · с₂ + 0 · с₃

Линейно зависимые и независимые строки

Струнная система – это линейно зависимый (LZ), если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой прямой.

Отсюда следует, что нетривиальный ЛК в некоторых случаях может быть равен нулевой строке.

Струнная система – это линейно независимый (LNZ), если только тривиальный LC равен пустой строке.

Ноты:

• В квадратной матрице система строк является ЛЗ только в том случае, если определитель этой матрицы равен нулю (домен = 0).
• В квадратной матрице система строк является ЛИС только в том случае, если определитель этой матрицы не равен нулю (домен ≠ 0).

Пример проблемы

Давайте выясним, является ли струнная система {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} линейно зависимый.

Решение:

1. Для начала сделаем ЛК.

α₁{3 4} + а₂{9 12}.

2. Теперь выясним, какие значения следует принимать α₁ и α₂так что линейная комбинация равна пустой строке.

α₁{3 4} + а₂{9 12} = {0 0}.

3. Составим систему уравнений:

4. Разделим первое уравнение на три, второе на четыре:

5. Решение этой системы любое. α₁ и α₂, С α₁ = -3а₂.

Например, если α₂ = 2тогда α₁ = -6. Подставляем эти значения в систему уравнений выше и получаем:

Ответ: поэтому линии s₁ и s₂ линейно зависимый.