Что такое уравнение: определение, решение, примеры

В этой публикации мы рассмотрим, что такое уравнение, а также что значит его решить. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Определение уравнения

Уравнение is , содержащий неизвестное число, которое нужно найти.

Это число обычно обозначается маленькой латинской буквой (чаще всего – x, y or z) и называется переменная уравнения.

Другими словами, равенство является уравнением только в том случае, если оно содержит букву, значение которой вы хотите вычислить.

Примеры простейших уравнений (одна неизвестная и одно арифметическое действие):

• х + 3 = 5
• и – 2 = 12
• г + 10 = 41

В более сложных уравнениях переменная может встречаться несколько раз, а также они могут содержать круглые скобки и более сложные математические операции. Например:

• 2х + 4 – х = 10
• 3 (у – 2) + 4у = 15
• x² + 5 = 9

Также в уравнении может быть несколько переменных, например:

• х + 2у = ​​14
• (2x – y) 2 + 5z = 22

Корень уравнения

Допустим, у нас есть уравнение 2x + 6 = 16.

Оно превращается в истинное равенство, когда х = 5. Это значение (число) корень уравнения.

Решите уравнение – это значит найти его корень или корни (в зависимости от количества переменных) или доказать, что их не существует.

Обычно корень записывается так: х = 3. Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: x₁ = 2, x₂ = -5.

Ноты:

1. Некоторые уравнения могут оказаться неразрешимыми.

Например: 0 · х = 7. Какое бы число мы ни заменили x, получить правильное равенство не получится. В этом случае ответ такой: «Уравнение не имеет корней».

2. Некоторые уравнения имеют бесконечное число корней.

Например: и = и. В этом случае решением является любое число, т.е. х € Р, х € Z, х € Nгде N, Z и R являются натуральными, целыми и действительными числами соответственно.

Эквивалентные уравнения

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильно.

Например: х + 3 = 5 и 2x + 4 = 8. Для обоих уравнений решением является число два, т.е. х = 2.

Основные эквивалентные преобразования уравнений:

1. Перенос некоторого слагаемого из одной части уравнений в другую с изменением его знака на противоположный.

Например: 3x + 7 = 5 равносильно 3x + 7 – 5 = 0.

2. Умножение/деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Например: 4x - 7 = 17 равносильно 8x - 14 = 34.

Уравнение также не изменится, если к обеим его частям прибавить/вычесть одно и то же число.

3. Сокращение аналогичных терминов.

Например: 2х + 5х – 6 + 2 = 14 равносильно 7x - 18 = 0.