Что такое предел функции

В этой публикации мы рассмотрим одно из основных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные решения с практическими примерами.

Определение предела функции

Предел функции – значение, к которому стремится значение этой функции, когда ее аргумент стремится к предельной точке.

Ограничить запись:

• лимит обозначается значком Ит;
• ниже добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно это x, но не обязательно, например:x→1″;
• затем справа добавляется сама функция, например:

  

Таким образом, окончательная запись лимита выглядит так (в нашем случае):

Читает как «предел функции при стремлении x к единице».

x→ 1 – это значит, что «х» последовательно принимает значения, бесконечно приближающиеся к единице, но никогда с ней не совпадающие (оно не будет достигнуто).

Пределы решений

С заданным номером

Давайте решим вышеуказанный предел. Для этого достаточно подставить в функцию единицу (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, мы сначала пытаемся просто подставить данное число в функцию, находящуюся под ним (если x стремится к определенному числу).

С бесконечностью

В этом случае аргумент функции увеличивается бесконечно, т. е. "Х" стремится к бесконечности (∞). Например:

If x→∞, то данная функция стремится к минус бесконечности (-∞), поскольку:

• 3- 1= 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т. д.

Другой более сложный пример

Чтобы решить этот предел, просто увеличьте значения x и посмотрим на «поведение» функции в этом случае.

• РџСЂРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• РџСЂРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• РџСЂРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом, для "Х"стремящаяся к бесконечности, функция x² + 3x - 6 растет бесконечно.

С неопределенностью (х стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет о пределах, когда функция является дробью, числителем и знаменателем которой являются многочлены. В которой "Х" стремится к бесконечности.

Пример: давайте рассчитаем предел ниже.

Решения

Выражения как в числителе, так и в знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в этом случае решение будет следующим:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел, нам нужно сделать следующее:

1. найти x в высшей степени для числителя (в нашем случае это двойка).

2. Аналогично определяем x в высшей степени знаменателя (также равен двум).

3. Теперь разделим числитель и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во втором, но если бы они были разными, нам следовало бы брать высшую степень.

4. В полученном результате все дроби стремятся к нулю, следовательно, ответ 1/2.

С неопределенностью (x стремится к определенному числу)

И числитель, и знаменатель являются полиномами, однако "Х" стремится к определенному числу, а не к бесконечности.

В данном случае мы условно закрываем глаза на то, что знаменатель равен нулю.

Пример: Давайте найдем предел функции ниже.

Решения

1. Сначала подставим в функцию число 1, к которому "Х". Мы получаем неопределенность рассматриваемой нами формы.

2. Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или .

В нашем случае корни выражения в числителе (2x² - 5x + 3 = 0) — числа 1 и 1,5. Поэтому его можно представить как: 2(х-1)(х-1,5).

Знаменатель (х–1) изначально просто.

3. Получаем вот такой модифицированный лимит:

4. Дробь можно уменьшить на (х–1):

5. Осталось только подставить цифру 1 в полученное при пределе выражение: