Маленькая теорема Ферма

В этой публикации мы рассмотрим одну из основных теорем теории целых чисел –  Маленькая теорема Ферманазван в честь французского математика Пьера де Ферма. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Формулировка теоремы

1. Начальный

If p это простое число a целое число, которое не делится на pтогда a^р-1 -1 деленное на p.

Формально это пишется так: a^р-1 1 (против p).

Примечание: Простое число — это натуральное число, которое делится без остатка только на XNUMX и само себя.

Например:

• a = 2
• p = 5
• a^р-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• номер 15 деленное на 5 без остатка.

2. Альтернатива

If p простое число, a любое целое число, тогда a^p сравним с a форма p.

a^p ≡ а (против p)

История поиска доказательств

Пьер де Ферма сформулировал теорему в 1640 году, но сам ее не доказал. Позже это сделал Готфрид Вильгельм Лейбниц, немецкий философ, логик, математик и др. Считается, что доказательство у него уже было к 1683 году, хотя оно так и не было опубликовано. Примечательно, что Лейбниц открыл теорему сам, не зная, что она уже была сформулирована ранее.

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1736 году и принадлежит швейцарскому, немецкому математику и механику Леонарду Эйлеру. Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера.

Пример проблемы

Найдите остаток числа 2¹² on 12.

Решения

Давайте представим себе число 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 является простым числом, поэтому по малой теореме Ферма получаем:

2¹¹ 2 (против 11).

Следовательно, 2⋅2¹¹ 4 (против 11).

Итак, число 2¹² деленное на 12 с остатком, равным 4.