В этой публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также мы разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Определение треугольника
Triangle – Это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трёх сторон, которые образуются путём соединения трёх точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.
- Точки А, В и С являются вершинами треугольника.
- Отрезки АВ, ВС и АС являются сторонами треугольника, которые часто обозначаются одной латинской буквой. Например, АВ= a, БК = b, И = c.
- Внутренность треугольника – это часть плоскости, ограниченная сторонами треугольника.
Стороны треугольника в вершинах образуют три угла, традиционно обозначаемые греческими буквами – α, β, γ и т. д. Из-за этого треугольник еще называют многоугольником с тремя углами.
Углы также можно обозначать с помощью специального знака «∠
- α – ∠BAC или ∠CAB
- β – ∠ABC или ∠CBA
- γ – ∠ACB или ∠BCA
Классификация треугольников
В зависимости от величины углов или количества равных сторон различают следующие типы фигур:
1. остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т. е. меньше 90°.
2. тупой Треугольник, у которого один из углов больше 90°. Два других угла острые.
3. прямоугольный – треугольник, у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АВ и АС). Третья сторона, лежащая напротив прямого угла, – это гипотенуза (BC).
4. разносторонний Треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
5. Равнобедренный – треугольник, имеющий две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – основание (АС). На этом рисунке углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).
6. Равносторонний (или правильный) Треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
Свойства треугольника
1. Любая из сторон треугольника меньше двух других, но больше их разности. Для удобства принимаем стандартные обозначения сторон – a, b и с… Затем:
б – с < а < б + сAt б > в
Это свойство используется для проверки сегментов линий на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.
2. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда острые.
3. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Примеры задач
Задача 1
В треугольнике известны два угла: 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.
Решения
Возьмем известные углы как α (32°) и β (56°), а неизвестность – позади γ.
По свойству суммы всех углов: а + б + с = 180°.
Следовательно, γ = 180 ° – а – б = 180° – 32° – 56° = 92°.
Задача 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.
Решения
Составим неравенства для каждого из данных отрезков, исходя из рассмотренного выше свойства:
11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8
Все они верны, следовательно, эти отрезки могут быть сторонами треугольника.