Нахождение обратной матрицы

В этой публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий.

Определение обратной матрицы

Для начала давайте вспомним, что такое обратные величины в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему число будет 7.^-1 or ¹/₇. Если перемножить эти числа, результат будет один, т.е. 7 7^-1 = 1.

Почти то же самое и с матрицами. Обратный называется такая матрица, умножив которую на исходную, получим единичную. Она обозначена как A^-1.

А · А^-1 =E

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Чтобы найти обратную матрицу, нужно уметь вычислять матрицы, а также иметь навыки совершать с ними определенные действия.

Сразу стоит отметить, что обратную можно найти только для квадратной матрицы, и делается это по формуле ниже:

|A| – определитель матрицы;

A^T_M — транспонированная матрица алгебраических сложений.

Примечание: если определитель равен нулю, то обратная матрица не существует.

Пример

Найдем для матрицы A ниже показана обратная сторона.

Решения

1. Сначала найдем определитель данной матрицы.

2. Теперь создадим матрицу, имеющую те же размеры, что и исходная:

Нам нужно разобраться, какие цифры должны заменить звездочки. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем вычеркивания строки и столбца, в которых он находится, т.е. в обоих случаях под номером один.

Число, оставшееся после зачеркивания, является требуемым минором, т.е. M₁₁ = 8.

Аналогично находим миноры для остальных элементов матрицы и получаем следующий результат.

3. Определим матрицу алгебраических сложений. Как их рассчитать для каждого элемента, мы рассмотрели отдельно.

Например, для элемента a₁₁ Алгебраическое сложение рассматривается следующим образом:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 8 = 8

4. Выполнить транспонирование полученной матрицы алгебраических сложений (т.е. поменять местами столбцы и строки).

5. Остается только воспользоваться приведенной выше формулой для нахождения обратной матрицы.

Мы можем оставить ответ в таком виде, не разделяя элементы матрицы на число 11, так как в этом случае мы получим некрасивые дробные числа.

Проверка результата

Чтобы убедиться, что мы получили обратную исходную матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице.

В результате мы получили единичную матрицу, а значит, мы все сделали правильно.