Свойства высоты прямоугольного треугольника

В этой публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольный, если один из его углов прямой (равен 90°), а два других острые (<90°).

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Недвижимость 1

Прямоугольный треугольник имеет две высоты (h₁ и h₂) совпадают с его ножками.

третья высота (h₃) спускается к гипотенузе под прямым углом.

Недвижимость 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Недвижимость 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенном к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

1. △ABD ~ △азбука под двумя равными углами: ∠Азиатский банк развития = ∠LAC (прямые), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △азбука под двумя равными углами: ∠ADC = ∠LAC (прямые), ∠ACD = ∠АКБ.

3. △ABD ~ △ADC под двумя равными углами: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Доказательство: ∠BAD = 90° – ∠АБД (АВС). В то же время ∠АКД (АКБ) = 90° – ∠азбука.

Следовательно, ∠BAD = ∠ACD.

Аналогично можно доказать, что ∠ABD = ∠DAC.

Недвижимость 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная до гипотенузы, рассчитывается следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образовавшаяся в результате ее деления по основанию высоты:

2. Через длины сторон треугольника:

Эта формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе):

Примечание: к прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации.

Пример проблемы

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника разделена проведенной к ней высотой на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решения

Воспользуемся первой формулой, представленной в Недвижимость 4:

Задача 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решения

Сначала найдем длину гипотенузы вдоль (пусть катеты треугольника будут «К» и «В», а гипотенуза "против"):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225.

Следовательно, с = 15 см

Теперь мы можем применить вторую формулу из Свойства 4обсуждалось выше: