Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

В этой публикации мы рассмотрим одну из основных теорем геометрии 8 класса – теорему Фалеса, получившую такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и провести через их концы параллельные, то, пересекая вторую прямую, отрежут на ней равные между собой отрезки.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Примечание: Взаимное пересечение секущих роли не играет, т.е. теорема справедлива как для пересекающихся прямых, так и для параллельных. Расположение отрезков на секущих также не имеет значения.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса — частный случай. теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые разрезают пропорциональные отрезки по секущим.

В соответствии с этим для нашего рисунка выше справедливо равенство:

* поскольку равные отрезки, в том числе, пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная сверху, то эти прямые параллельны.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные сегменты должны начинаться сверху.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны друг другу. Только в этом случае теорема применима.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Пример проблемы

Учитывая сегмент AB на поверхности. Разделите его на 3 равные части.

Решения

Рисовать из точки A направлять a и отметьте на нем три последовательных равных отрезка: AC, CD и DE.

крайняя точка E по прямой a соединить с точкой B на сегменте. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE нарисуйте две линии, пересекающие отрезок AB.

Образовавшиеся таким образом точки пересечения на отрезке АВ делят его на три равные части (по теореме Фалеса).