Содержание:
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника относительно точки их пересечения, связи с диагоналями и т. д.
Примечание: Далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.
Определение средней линии четырехугольника
Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т. е. не пересекающий их), называется его средняя линия.
- EF – средняя линия, соединяющая средние точки AB и CD; АЕ=ЕВ, CF=FD.
- GH – срединная линия, разделяющая середины BC и ОБЪЯВЛЕНИЕ; БГ=ГК, АХ=HD.
Свойства средней линии четырехугольника
Недвижимость 1
Средние линии четырехугольника пересекаются и делятся пополам в точке пересечения.
- EF и GH (средние линии) пересекаются в точке O;
- ЭО=ОФ, ГО=ОН.
Примечание: Точка O is центроида (или барицентр) четырехугольник.
Недвижимость 2
Точкой пересечения средних линий четырехугольника является середина отрезка, соединяющего середины его диагоналей.
- K – середина диагонали AC;
- L – середина диагонали BD;
- KL проходит через точку O, подключение K и L.
Недвижимость 3
Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называемого Параллелограмм Вариньона.
Центр образованного таким образом параллелограмма и точка пересечения его диагоналей есть середина средних линий исходного четырехугольника, т. е. точка их пересечения. O.
Примечание: Площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.
Недвижимость 4
Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, то диагонали имеют одинаковую длину.
- EF – средняя линия;
- AC и BD – диагонали;
- ∠ELC = ∠BMF = а, Следовательно АС=BD.
Недвижимость 5
Средняя линия четырехугольника меньше или равна половине суммы его непересекающихся сторон (при условии, что эти стороны параллельны).
EF – срединная линия, не пересекающаяся с сторонами AD и BC.
Другими словами, средняя линия четырехугольника равна половине суммы сторон, не пересекающих ее, тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В данном случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.
Недвижимость 6
Для вектора средней линии произвольного четырехугольника справедливо следующее равенство:
