Что такое рациональные числа

В этой публикации мы рассмотрим, что такое рациональные числа, как их сравнивать между собой, а также какие арифметические действия с ними можно производить (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень). Теоретический материал мы будем сопровождать практическими примерами для лучшего понимания.

Определение рационального числа

Рациональный это число, которое можно представить как . Множество рациональных чисел имеет специальное обозначение – Q.

Правила сравнения рациональных чисел:

1. Любое положительное рациональное число больше нуля. Обозначается специальным знаком «больше чем». >».

   Например: 5>0, 12>0, 144>0, 2098>0 и т. д.

2. Любое отрицательное рациональное число меньше нуля. Обозначается символом «меньше чем». <».

   Например: -3<0, -22<0, -164<0, -3042<0 и т. д.

3. Из двух положительных рациональных чисел больше то, у которого абсолютное значение больше.

   Например: 10>4, 132>26, 1216<1516 и т.д.

4. Из двух отрицательных рациональных чисел большее имеет меньшее абсолютное значение.

   Например: -3>-20, -14>-202, -54<-10 и т.д.

Арифметические операции с рациональными числами

Дополнение

1. Чтобы найти сумму рациональных чисел с одинаковыми знаками, просто сложите их, затем поставьте их знак перед полученным результатом.

Например:

• 5 + 2 = + (5 + 2) = + 7 = 7
• 13 + 8 + 4 = + (13 + 8 + 4) = + 25 = 25
• -9 + (-11) = – (9 + 11) = -20
• -14 + (-53) + (-3) = – (14 + 53 + 3) = -70

Примечание: Если перед числом нет знака, это означает +«, то есть оно положительное. Также в результате "плюс" можно снизить.

2. Чтобы найти сумму рациональных чисел с разными знаками, к числу с большим модулем прибавляем те, знак которых совпадает с ним, и вычитаем числа с противоположными знаками (мы берем абсолютные значения). Затем перед результатом ставим знак числа, из которого мы все вычли.

Например:

• -6 + 4 = – (6 – 4) = -2
• 15 + (-11) = + (15–11) = + 4 = 4
• -21 + 15 + 2 + (-4) = – (21 + 4 – 15 – 2) = -8
• 17 + (-6) + 10 + (-2) = + (17 + 10 – 6 – 2) = 19

вычитание

Чтобы найти разницу между двумя рациональными числами, к вычитаемому прибавляем противоположное число.

Например:

• 9 – 4 = 9 + (-4) = 5
• 3 – 7 = 3 + (-7) = – (7 – 3) = -4

Если вычитаемых несколько, то сначала сложите все положительные числа, затем все отрицательные (в том числе и приведённое). Таким образом, мы получаем два рациональных числа, разницу которых находим с помощью приведенного выше алгоритма.

Например:

• 12 – 5 – 3 = 12 – (5 + 3) = 4
• 22 – 16 – 9 = 22 – (16 + 9) = 22 – 25 = – (25 – 22) = -3

Умножение

Чтобы найти произведение двух рациональных чисел, просто перемножьте их модули, а затем поставьте перед полученным результатом:

• подпись + если оба фактора имеют одинаковый знак;
• подпись – если факторы имеют разные знаки.

Например:

• 3 7 = 21
• -15 4 = -60

Если факторов больше двух, то:

1. Если все числа положительные, то результат будет подписан. "плюс".
2. Если есть как положительные, так и отрицательные числа, то считаем количество последних:
   • четное число - это результат с "Больше";
   • нечетное число – результат с "минус".

Например:

• 5 (-4) 3 (-8) = 480
• 15 (-1) (-3) (-10) 12 = -5400

Разделение

Как и в случае с умножением, выполняем действие с модулями чисел, затем ставим соответствующий знак с учетом правил, описанных в пункте выше.

Например:

• 12:4=3
• 48 : (-6) = -8
• 50 : (-2) : (-5) = 5
• 128 : (-4) : (-8) : (-1) = -4

Возведение

Возведение рационального числа a в n это то же самое, что умножить это число само на себя n-ное количество раз. Написано как a ⁿ.

В которой:

• Любая степень положительного числа дает положительное число.
• Четная степень отрицательного числа положительна, нечетная степень отрицательна.

Например:

• 2⁶ = 2 2 2 2 2 2 = 64
• -3⁴ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
• -6³ = (-6) · (-6) · (-6) = -216